1. Modelação  2. Modelação matemática e computadores  3. Ferramentas computacionais  4. Desafios  5. Bibliografia  Materiais

© Faculdade de Ciências e Tecnologia, U.N.L.

 Catarina Delgado
Centro de Competência Nónio - Século XXI

Modelação 

(…) muitos e grandes cientistas, como Einstein, por exemplo, fizeram muito boa Física, mais com o pensamento matemático (logo com a cabeça) do que com as mãos! Mas não restam dúvidas que foi com Galileu que passou definitivamente a saber-se que a matemática é a linguagem em que se escreve o grande livro da Natureza…

(Teodoro, 1997)

Curiosamente, já é antiga a constatação de que a Matemática é um instrumento poderoso de interpretação e intervenção no real. De acordo com esta consciência, analisar situações da vida real identificando modelos matemáticos que permitam a sua interpretação é, entre outros, objectivo dos actuais programas do ensino básico e secundário. 

Modelos matemáticos – de que estamos a falar? 

Segundo Ian Stewart, "qualquer descrição matemática do mundo real é um modelo. Manipulando o modelo esperamos compreender algo da realidade". A noção de modelo pode ser apresentada de uma forma mais específica. Segundo Matos "um modelo matemático de uma situação problemática real constitui uma representação matemática dessa situação (uma dada situação concreta, ideia, objecto ou fenómeno). Esta representação é concretizada com objectos, relações e estruturas da matemática (tais como tabelas, relações funcionais, gráficos, figuras geométricas, etc). Um modelo matemático pode ter diversos aspectos mas em geral inclui o uso de variáveis e relações entre essas variáveis…". 

Silva (1994) afirma que "o modo como a teoria e as aplicações da Matemática se relacionam é normalmente designado por matematização ou modelação matemática". No livro "Princípios de Análise Matemática Aplicada" o autor apresenta o seguinte esquema para descrever o processo de matematização ou modelação matemática: 

Argumentos de vária ordem conferem valor às actividades que envolvem as aplicações em matemática e modelação. Blum e Niss (1991) apresentam nos documentos de orientação sobre educação matemática os seguintes argumentos: 

• "As aplicações em matemática e a modelação podem ser encaradas como um dos meios adequados para conseguir o desenvolvimento de competências gerais nos alunos, na medida em que permitiriam estimular o interesse pela descoberta, a criatividade e a confiança nas suas próprias actividades e recursos (…).

• Numa sociedade cada vez mais matematizada ( através da utilização de modelos matemáticos em todas as esferas de actividade), torna-se premente desenvolver nos alunos a competência crítica que lhes permitirá uma intervenção na sociedade como cidadãos activos e esclarecidos.

• A capacidade para activar conhecimentos matemáticos em situações reais não decorre automaticamente da aquisição de conceitos matemáticos, mas está relacionada com um certo grau de preparação e prática. É neste sentido que o argumento de que o ensino da matemática deve proporcionar aos alunos experiências de aplicação e modelação numa variedade de contextos em que a matemática pode revelar-se insubstituível.

• A educação matemática tem um conjunto de objectivos nos quais se inclui o de contribuir para o desenvolvimento nos alunos de uma visão multifacetada da matemática, quer como ciência, quer como actividade cultural e social (…).

• As aplicações e a modelação matemática podem contribuir para ajudar os alunos a adquirir e interiorizar conceitos e métodos matemáticos. Pode igualmente constituir uma forma de motivar os alunos para o estudo da matemática, tornando muitas ideias matemáticas mais significativas através de situações interessantes em que estas possam ser exploradas. Do ponto de vista da aprendizagem, é também reconhecido que alguns temas tendem a adquirir uma maior consistência , quando são inseridos em contextos de aplicação".

  

  
O papel do computador na modelação matemática 

(…) Software de modelação – pode facilitar a criação de poderosos ambientes de aprendizagem, em que a perspectiva construtivista seja dominante, apresentando simultaneamente potencialidades de abordagem integrada das ciências e da matemática. 

(Teodoro, 97)

As novas tecnologias em geral, e o computador em particular, apresenta inúmeras vantagens e em várias dimensões (afectivas, cognitivas, etc) no processo ensino-aprendizagem da matemática. 

No que respeita a questões relacionadas com actividades de modelação, Matos (1997) considera que o computador "constitui um passo decisivo para trabalhar com os alunos uma matemática mais realista na medida em que se reduzem os obstáculos que têm a ver directamente com o cálculo e com operações rotineiras. A utilização de dados obtidos por observação de fenómenos reais traz à actividade de resolução de problemas um novo ingrediente que tem que ver não apenas com aspectos de motivação mas sobretudo com o facto de serem percebidas relações entre a Matemática e o mundo em que vivemos…". Refere ainda que "a facilidade com que os computadores podem ser manipulados contribui para encorajar uma abordagem experimental e indutiva da Matemática, desenvolvendo a construção de generalizações a partir de múltiplas observações e criando subsequentemente a necessidade da demonstração matemática". 

É fundamental, em primeiro lugar, conhecer as ferramentas computacionais e atender às suas limitações, características e requisitos próprios, quando se pretende utilizá-las na modelação matemática. Ao professor cabe ainda, o papel decisivo de avaliar a adequação das ferramentas computacionais às propostas pedagógicas. 

São diversas as ferramentas com grandes potencialidades para o apoio a actividades de modelação matemática a nível do ensino básico e secundário. Entre as que mais podem contribuir positivamente para a construção e exploração de modelos encontram-se as folhas de cálculo e os programas concebidos especificamente para a actividade de modelação de que é exemplo o Modellus. 

Ferramentas computacionais 

Sobre o Modellus … 

Ambientes computacionais como o Modellus, "permitem que o utilizador «programe» o computador praticamente sem recurso a linguagens de programação. Utiliza, pelo contrário, processos de representação muito mais próximos dos processos de representação com «papel e lápis», o que se revela fundamental na medida em que não exige o conhecimento de uma nova sintaxe e uma nova morfologia" (Teodoro,97). 

O Modellus é um programa de computador que além de nos possibilitar explorar modelos matemáticos, físicos, etc…, já conhecidos, permite-nos, de um modo simples construir modelos matemáticos para o estudo de sistemas de vários géneros. Os alunos podem trabalhar com modelos previamente construídos, modificar os valores de parâmetros, os dados iniciais ou construírem os modelos resultantes do aperfeiçoamento de esboços iniciais. O programa permite, de forma rápida e fácil, construir gráficos e tabelas que descrevem o comportamento do modelo. 

Além das características apresentadas, o programa Modellus, permite a criação de "janelas de animação" cuja importância está relacionada, não só, com questões de ordem lúdica, como também com questões que se prendem com a compreensão do modelo ao permitir efectuar simulações. 

Sobre a folha de cálculo … 

As folhas de cálculo integram-se no conjunto vulgarmente designado por programas ferramenta, a par dos processadores de texto, das bases de dados e outros. Visualmente apresenta-se como uma matriz de linhas/colunas, permitindo a inserção de valores numéricos, fórmulas e texto, que podem posteriormente ser sujeitos a tratamento, através de um conjunto de opções que o programa oferece. 

Inicialmente criadas e disseminadas pela indústria, comércio e serviços, têm vindo a ser progressivamente utilizadas em contextos educativos e apropriadas por professores de diferentes disciplinas, pondo em evidência as suas principais potencialidades, nomeadamente: 

• a possibilidade de operar com dados reais, tratar grandes quantidades de dados numéricos e sistematizar informação através de indicadores estatísticos;

• a possibilidade de representar a informação em diferentes formas (numérica, algébrica ou gráfica), transitando facilmente entre elas o que pode ajudar a melhor compreender conceitos e relações;

• a possibilidade de construir modelos de situações/ problemas reais e testá-los, ou seja, verificar a sua adequação;

• a possibilidade de construir simulações de situações e testar alternativas, de modo a poder decidir de forma fundamentada por uma opção.

No que respeita às utilizações educativas da folha de cálculo especificamente na Matemática, esta pode revelar-se adequada na exploração das regularidades numéricas, nomeadamente na abordagem das sucessões e na aproximação intuitiva do conceito de limite, no estudo da proporcionalidade, no tratamento estatístico elementar (agrupamento de dados, cálculo de medidas de tendência central e de dispersão, correlação e regressão linear, etc), na construção de modelos, simulações e na resolução de problemas em geral. 

José Duarte (1996) considera que "a folha de cálculo vem valorizar aquilo que se pode chamar a «Matemática experimental», privilegiando o raciocínio indutivo e o colocar de conjecturas. A forma como se podem analisar rapidamente as implicações que tem a mudança numa ou em várias variáveis, no conjunto de outras que dela(s) dependem, torna a folha de cálculo um instrumento dinâmico e interactivo, que valoriza os processos experimentais. Por outro lado, a possibilidade de visualizar em pouco tempo um grande número de exemplos e receber ‘feedback’ imediato, pode desafiar os alunos a colocarem hipóteses que posteriormente poderão ser testadas". 

Alguns desafios para o Modellus 

Lançamento de uma bola

Uma bola é lançada verticalmente com uma velocidade inicial de 32m/s. 
As funções  h(t) = - 4,9 t² + 32t + 2,1   e   v(t) = - 9,8 t + 32   podem ser utilizadas para prever respectivamente a altura da bola e a velocidade em cada instante. 

Recorrendo ao programa Modellus responda às seguintes questões: 

a) Preenche a tabela seguinte: 
 

b) Representa graficamente as duas funções. 

c) Qual é a altura máxima que a bola atinge? Em que instante? Qual é a velocidade nesse momento? Que valores toma a velocidade antes desse momento? E depois? 

d) Qual é o domínio de cada uma das funções? E o contradomínio? 

e) Qual é a velocidade da bola no momento em que chega ao solo? Como a determinas? 

f) O gráfico da função que relaciona o tempo com a altura da bola é um gráfico simétrico. Que implicações ou significado tem esta simetria no problema da realidade que estás a estudar?  adaptado de “Advanced Algebra Trough Data Exploration”

Uma caixa de cartão  

Bibliografia  

Matos, J.F. Trabalho de Projecto e modelação. Faculdade de Ciências de Lisboa. 

Matos, J. (1997). Modelação Matemática: o papel das tecnologias de informação. Artigo publicado na revista Educação e Matemática: APM.

Ponte, J. (1995). Novas tecnologias na aula de Matemática. Artigo publicado na revista Educação e Matemática: APM 

Silva, J.C. (1994). Princípios de Análise Matemática Aplicada. Lisboa: Mc Graw Hill. 

Teodoro, V.D. (1997). Modelação computacional em Ciências e Matemática. Artigo publicado na revista Educação e Matemática: APM 

Teodoro, V.D. (1997). Nota de apresentação de uma conferência no ProfMat97. 

Carreira, S.P. A matematização na natureza e na sociedade: uma forma de encarar a relação Matemática-Realidade. Universidade Nova de Lisboa. 

Duarte, J. (1996). Utilizações educativas da folha de cálculo. Documento elaborado para um curso de formação de formadores no âmbito do Projecto FORJA. ESE de Setúbal. 

Brochura - Funções 10º ano - editada pelo Departamento do Ensino Secundário do Ministério da Educação.
 

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