Projectos em Matemática
Carlos
Pimenta
ES D. João II - Setúbal
Esta
comunicação abordou dois temas:
“Os Sólidos Platónicos” e “As Cónicas”.
Os
sólidos platónicos, projecto desenvolvido em “Toolbook” e em
“Bryce 3D”, mostrou uma
animação sobre cada um dos sólidos platónicos, assim como uma possível
planificação, propriedades e simbologia. O texto utilizado neste
projecto foi retirado do livro de Matemática "Infinito 10".
O
segundo trabalho, desenvolvido em PowerPoint, tinha como objectivo
mostrar as capacidades do programa para desenvolver uma apresentação que
poderia ter sido feita por alunos sobre o tema “As Cónicas”.
O
interesse pelo estudo das cónicas remonta a épocas muito recuadas,
talvez século IV a.C.. Estas curvas devem o seu nome ao facto
de poderem ser obtidas seccionando uma superfície cónica e surgem no
nosso dia a dia com mais frequência do que se supõe.
Uma
superfície cónica de revolução de duas folhas é gerada pela rotação
de uma recta que passa num ponto fixo do eixo de rotação.
Qualquer
recta g contida na superfície cónica tem o nome de geratriz.
Neste
ponto é mostrado uma superfície cónica em que é feita uma animação
da geratriz que permite a visualização da forma como a superfície é
gerada.
-
Um
jacto de água desenha parábolas (fotografia
dum jacto de água).
-
Um
feixe de luz na parede, pode originar:
-
uma
parábola (imagem do feixe de luz parábola)
-
uma
elipse (imagem do feixe de luz elipse)
-
uma
hipérbole (imagem do feixe de luz hipérbole)
-
E
na Arte – hipérboles e respectivas assimptotas em Arquitectura (Brasília
- Oscar Niemeyer)
-
E
também na Ciência (sondas parabólicas).
Um
aluno de Platão (séc. IV a.C.) estudou as secções resultantes da
intersecção de cones circulares rectos por um plano perpendicular a uma
geratriz do cone.
Quando
o ângulo a
de abertura do cone é agudo, recto ou obtuso (imagem elucidativa).
Foi
Apollonius de Pérgamo que deu às secções cónicas os nomes de elipse,
parábola e hipérbole, no séc.
III a.C., e que estudou as propriedades destas linhas tão
aprofundadamente que pouco ficou por descobrir.
Mostrou
que não era necessário, que o plano secante fosse perpendicular a uma geratriz, bastava que não tocasse o vértice.
Elipse
O
plano corta uma só folha da superfície cónica e corta todas as
geratrizes. A linha obtida é fechada.
A
circunferência é um caso particular (imagem elucidativa).
Parábola
O
plano corta uma só folha da superfície cónica e corta todas as
geratrizes, menos uma. A linha obtida é aberta (imagem elucidativa).
Hipérbole
O
plano corta as duas folhas da superfície cónica e corta todas as
geratrizes, menos duas. A linha obtida tem dois ramos abertos (imagem
elucidativa).
Cónicas
degeneradas
A
intersecção é um ponto (o vértice).
A
intersecção é uma recta (uma geratriz).
A
intersecção é um par de rectas (duas geratrizes concorrentes no
vértice)
(imagem elucidativa).
As
aplicações das cónicas
O
astrónomo e matemático alemão Johan Kepler precisou de muita persistência
para concluir, em 1609, que cada planeta descreve uma elipse de que o sol
ocupa um dos focos (1ª Lei de Kepler). Pensava-se anteriormente que as órbitas
eram circulares (imagem
elucidativa).
As
cónicas regem os planetas naturais, cometas e asteróides e também todos
os satélites artificiais e astronaves cujas trajectórias podem hoje ser
pré-estabelecidas minuto a minuto. O estudo analítico das cónicas e das
suas aplicações aos movimentos no espaço não cessa de se aperfeiçoar
(imagem elucidativa).
As
trajectórias de bolas e/ou outros projécteis, dentro da atmosfera
terrestre, são geralmente arcos de parábola, tanto mais perfeitos quanto
menor for a resistência do ar.
A
balística é a ciência que estuda a trajectória e o impacto dos
projécteis
(imagem elucidativa).
Conta-se
que Arquimedes, durante o cerco de Siracusa, conseguiu incendiar navios
romanos usando uns espelhos, chamados «ustórios» que enchiam de pânico
os sitiantes e os punham em fuga. Arquimedes era pois conhecedor das
propriedades das cónicas. Ele recorreu a um ou vários espelhos parabólicos
colocados de modo a concentrar os raios de Sol reflectidos num só ponto,
se esse ponto fosse uma galera romana esta começava a arder
(imagem elucidativa).
Este
processo é usado nos fornos solares, em cujo foco se consegue alcançar
temperaturas de milhares de graus
(imagem elucidativa).
Espelhos
parabólicos, o que são?
Uma
parábola, rodando em torno do seu eixo de simetria, gera uma... superfície
parabólica ou parabolóide.
Se
for espelhado no interior temos um espelho parabólico.
O
interesse destas superfícies resulta duma propriedade reflectora.
-
Todo o
raio luminoso que incide num espelho parabólico, paralelamente ao eixo,
reflecte-se passando por um ponto fixo - O FOCO.
-
Todo
o raio luminoso que incide num espelho parabólico passando pelo FOCO
reflecte-se paralelamente ao eixo
(imagem elucidativa).
A
primeira versão da propriedade justifica o funcionamento do forno solar,
e dos variados tipos de antenas parabólicas que captam ondas de rádio,
de radar, ou outras ondas electromagnéticas, como as antenas parabólicas
de TV, ou as enormes antenas dos radiotelescópios que registam os sinais
vindos do espaço exterior (imagem elucidativa).
O
segundo aspecto da propriedade aplica-se em todos os faróis, de navegação,
de automóvel, ... porque um feixe de raios paralelos tem maior alcance
que qualquer outro (imagem elucidativa).
Todas
as superfícies geradas por cónicas, parabolóides, elipsóides, hiperbolóides,
têm propriedades reflectoras, que são utilizadas para criar condições
acústicas especiais em auditórios, teatros, catedrais, como acontece na
Catedral de São Paulo em Londres
(imagem elucidativa).
Devido
às suas propriedades estéticas e físicas, os arcos de cónicas surgem
por exemplo na Catedral de Gaudi em Barcelona (Parabolóides) (imagem
elucidativa).
O
cabo de suspensão duma ponte (Ponte sobre o Tejo), quando o peso total é
uniformemente distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, toma a
forma de uma parábola (imagem
elucidativa).
O
texto e algumas imagens foram extraídos do livro X$QMAT,
12º Ano do Ensino Secundário.
Setúbal,
8 de Fevereiro de 2000
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